Тогда уж не легавые, а борзые!
В.Ф. Трахтенберг «Блатная музыка. Жаргон тюрьмы» СПб, 1908 г.:
«Борзой — Агентъ сыскной полиции.
Лица, имеющія отношеніе к сыскной полиціи, пользуются еще кличкою „лягавыхъ», „сукъ" и „ментовь"

Точно я не могу сказать. Слово «мент» мне попадалось и в художественной литературе начала двадцатого века, и в публицистике того времени, и в специальных словарях. Скорее всего, оно произошло от названия плаща, в который были одеты австро-венгерские полицейские. Мусор же — от еврейского (не знаю, иврит, или идиш) слова мосер -«предатель». Наиболее, как мне кажется, аргументированное исследование на эту тему можно посмотреть здесь: www.proza.ru/2010/01/25/1021, хотя и там хватает неточностей.

В царской России никакого московского уголовного сыска не было, была московская сыскная полиция. И слово «мент» имеет другую этимологию.